Teoría de números enteros

La teoría de números es una parte del álgebra en la que se estudian las operaciones en el conjunto de los números enteros (Z), que no arrojan resultados fuera de dicho conjunto. Esta condición hace que por ejemplo las operaciones división y raíz queden fuera, ya que pueden producir resultados no enteros.

Es por eso que se necesita desarrollar un álgebra especial, y hay dos herramientas que nos ayudan a resolver problemas en el campo de los enteros:

1. Las ecuaciones Diofánticas: Estas son ecuaciones del tipo:

a.x+b.y=c

donde a, b, c son coeficientes enteros y las incógnitas son x, y también enteras.

2. Congruencia: Se trata de una relación del tipo:

donde a, b, m son enteros y el símbolo º es el de congruencia. La ecuación se lee como: a es congruente con b módulo m, y se verifica si a-b es divisible por m.

Ahora bien, antes de comenzar a estudiar las propiedades tratemos de entender qué significa la congruencia, analicemos el siguiente conjunto de números:

… 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36 …

Qué tienen en común estos números: son múltiplos de 5 más uno. En términos de congruencia estos números son representados por la siguiente ecuación:

Es decir la ecuación representa a todos los números que disminuidos en 1 son múltiplos de 5. Vemos que también hay números negativos que verifican la ecuación:

…-14, -9, -4, 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36 …

Veamos algunos ejemplos de otras relaciones posibles:

Ahora bien, si ya tenemos en claro que una ecuación congruente representa o tiene como solución un conjunto de números enteros, veamos algunas de sus propiedades:

1. a º a (m) Para cualquier m¹ 0
2. Si a º b (m) Û b º a (m)
3. Si a º b (m) Û b+c º a+c (m)
4. Si a º b (m) Þ b.c º a.c (m)
5. Si a º b (m) Û a+k.m=b(m) donde k es un entero
6. Si a º b (m) y b<m Þ b es el resto de la división de a por m
7. Si a º 0 (m) Û a es múltiplo de m
8. Si a º b (m) Þ a^k º b^k (m)

Importante: Notar la diferencia entre Û (doble implicación) y Þ (implicación en un solo sentido). Cuando hagamos un desarrollo, y siempre utilicemos las propiedades que poseen Û podemos hallar un resultado y asegurar que la ecuación original se cumplirá.

En cambio si usamos aquellas propiedades que se vinculen con Þ no podemos asegurar que lo que quedó pasos atrás se cumplirá para el valor hallado, sin embargo podemos usarla para realizar demostraciones.

Bueno, veamos ahora el por qué de cada propiedad: en la primera es obvio porque a-a=0, y 0 es múltiplo de cualquier número.

La segunda es la propiedad conmutativa muy fácil de demostrar ya que si x es múltiplo de m, -x también lo será.

La tercera es muy importante ya que indica que puedo sumar a ambos miembros una constante, y tiene doble implicación ya que puedo volver a la ecuación original restándola nuevamente.

La cuarta me dice que si multiplico ambos miembros por una constante la congruencia sigue siendo válida, pero no hay vuelta atrás ya que la división es una operación prohibida. Lo mismo para la última propiedad.

La propiedad número 5 es una de las más útiles, su demostración es muy sencilla ya que si a-b es múltiplo de m, sumarle otro múltiplo no cambiará las cosas y seguirá siendo válida la congruencia.

La propiedad número 6 nos da una herramienta adicional para comprender el tema, en el conjunto de números que vimos en el ejemplo también se podía decir que tenían resto 1 en la división por 5. Cuidado que b no necesariamente debe ser siempre el resto en la división de a por m (implicación en un solo sentido) ya que b puede ser mayor que m o negativo. No obstante podemos hallar siempre el resto restando k veces m según la propiedad 5 de manera tal que b quede en el rango entre 0 y m.

Bien, con esta breve introducción teórica podemos ver algunos ejemplos de aplicación:

Bueno, si al dígito de las unidades lo llamamos x se debe cumplir:

7²⁰⁰⁰ º x (10)

ya que si este número termina en x, al restarle x terminará en 0 y será múltiplo de 10. Para resolverlo partamos de una congruencia simple y aplicando propiedades tratemos de encontrar la solución:

7º 7 (10)

7² º 49 (10)

7² º 49-5.10 (10)

7² º -1 (10)

(7²)^1000º (-1) ¹⁰⁰⁰ (10)

7^2000º 1 (10)

Y de esta forma se demuestra que 7²⁰⁰⁰ termina en 1.

2. Resolver la siguiente ecuación para números enteros:

Si aquí tratamos de despejar a por ejemplo, nos encontramos con algo así:

Ecuación 1

Y ahora tenemos el problema de saber para qué valor de b, esto nos va a dar entero. Vamos a resolverlo utilizando la teoría de números:

13 º 7b (5+b)

13 º 7b+(-7).(5+b) (5+b)

13 º 7b-35-7b (5+b)

13 º -35 (5+b)

13+35 º 0 (5+b)

48 º 0 (5+b)

Esto significa que 48 es múltiplo de 5+b, por lo tanto los valores posibles de 5+b son todos los divisores de 48, positivos y negativos (recordemos que estamos tratando con números enteros).

48 = 2⁴.3

Divisores positivos Divisores negativos

2⁰ 2⁰.3 -2⁰ -2⁰.3

2¹ 2¹.3 -2¹ -2¹.3

2² 2².3 -2² -2².3

2³ 2³.3 -2³ -2³.3

2⁴ 2⁴.3 -2⁴ -2⁴.3

Si a cada uno de estos divisores les restamos 5 obtenemos todos los valores posibles de b, que son 40. Como verifican la ecuación de congruencia sabemos que si calculamos a con la ecuación 1 obtendremos un número entero. En este caso pudimos hallar una solución ya que utilizamos siempre las propiedades con doble implicancia.