Ecuaciones Diofánticas

Las ecuaciones diofánticas trabajan sobre los números enteros Z, son ecuaciones del tipo:

u.X+v.Y=w

Donde u, v y w son los coeficientes enteros de la ecuación, X e Y las variables. Ya que u, v y w son números que conocemos, la ecuación tiene infinitas soluciones o no tiene ninguna, así que lo que se trata de hallar es las ecuaciones generadoras de los pares de números (X,Y) que satisfacen la ecuación.

X=f(u, v, w, T)

Y=g(u, v, w, T) T=Entero

Donde T es un parámetro (número de libre elección) entero que al variar nos va dando los distintos pares que verificarán la ecuación, ya que los valores que puede tomar T son infinitos, las soluciones también lo son.

Una ecuación diofántica:

u.X+v.Y=k

tiene solución solo si k es divisible por el divisor común máximo ente u y v. Si esto se cumple las soluciones son infinitas, se procede de la siguiente forma:

1. Dividir toda la ecuación por el divisor común máximo entre u y v. Ahora la ecuación tendrá nuevos coeficientes que llamaremos a, b y c.

a.X+b.Y=c

Dado que dividimos la ecuación por el divisor común máximo entre a y b, a y b serán ahora primos entre sí.

2. Hallar una solución particular para la ecuación diofántica homogénea (igualada a 1). Esto es hallar una solución cualquiera que satisfaga:

a.X+b.Y=1

Llamemos a estos valores X₀ e Y₀

Esto puede hacerse de dos formas, si es muy evidente la solución, simplemente se utiliza, por ejemplo:

10X+9Y=1

Es evidente aquí que se verifica para X₀ =1 e Y₀=-1. Pero en otros casos puede no ser tan fácil:

17X+23Y=1

Resolver esta ecuación tanteando es poco elegante y además algo complicado, así que aquí utilizaremos el algoritmo de Euclides que nos dará una solución particular. Se procede como sigue:

Primero se forma una fracción impropia (>1) con los coeficientes a y b.

Y luego se descompone en fracción continua hasta que el numerador de la última fracción quede igual a 1.

Luego se elimina esta última fracción y se reconstruye la expresión.

La solución particular estará dada por el numerador y denomidador de la fracción resultante. Esto se verá más claro con un ejemplo:



Luego se elimina la fracción 1/5 y se opera hasta volver a una expresión impropia.



Luego la solución particular es X₀=-4 e Y₀=3. La solución no nos dice los signos que deben ser elejidos de manera tal que la ecuación de 1.

3. Una vez que tenemos la solución particular de la ecuación homogénea, multiplicamos la ecuación por c y obtenemos una solución particular para la ecuación completa que llamaremos X₁ e Y₁

a.X₀+b.Y₀=1 a(X₀.c)+b(Y₀.c)=c X₁=X₀.c Y₁= Y₀.c

4. Con esta solución particular hallamos la solución general en función de un parámetro T, con las siguientes fórmulas. En el caso que los signos de los coeficientes a y b sean iguales:

X= X₁ + b.T

Y= Y₁ - a.T

Si los signos de los coeficientes a y b son distintos es en cambio:

X= X₁ + b.T

Y= Y₁ + a.T

Es decir, la regla nemotécnica en este caso es: si los coeficientes a y b son del mismo signo, en las ecuaciones los signos serán distintos y si son de signo contrario serán del mismo signo.

Vemos que de esta manera podemos hacer variar el parámetro T y obtendremos las infinitas soluciones de la ecuación.